Números Complexos - "Forma trigonométrica ou polar"

Simbolo da inteligência com os números complexos !!!

Aprenda como representar um número complexo no plano de Argand - Gauss

Conheçendo o Plano de Argand - Gauss

Números Complexos

Após as explicações dadas é sua vez de calcular !!!

1. Calcule as seguintes somas:

a) (2 + 5i) + (3 + 4i)

b) i + (2 - 5i)

2. Calcule as diferenças:

a) (2 + 5i) - (3 + 4i)

b) (1 + i) - (1 - i)

3. Calcule os seguintes produtos:

a) (2 + 3i) (3 - 2i)

b) (1 + 3i) (1 + i)

4. Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:

a) 3 + 4i

b) -3 + i

c) 1 - i

d) -2 – 5i

5. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

a) 3 + 4i

b) 1 - i

c) –3 + i

d) –2 –5i

6. Efectue as seguintes divisões de números complexos:

a) (-10 + 15i) / (2 – i)

b) (1 + 3i) / (1 + i)

7. Calcule:

a) (1 + i)2

b) (-2 + i)2

Exemplo: Multiplicação.

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i² 
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Exemplo: Subtração.

Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Exemplo: Adição

Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Definição:

  Número complexo é todo número z, da forma a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária.
  Forma Algébrica:a forma a + bi representando um número complexo, e na qual a e b são números reais (e i é a unidade imaginária) é chamada forma algébrica do número complexo.
  Costuma-se chamar por C o conjunto de todos os números complexos.
  
  
  Para efetuar adição (e subtração) e também a multiplicação de dois números complexos na forma algébrica, operamos como no cálculo algébrico, levando agora em consideração que i^2= -1.
   Dados os números complexos z1=a +bi e z2=c+di, na forma algébrica , temos:
   Igualdade: a + bi = c + di
                     a = c e b = d.
   Adição: z1 + z2 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
   Multiplicação: z1 . z2 = (a+bi).(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i.

Observações:

_Para subtração, temos: z1- z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-di);
_A adição de números complexos tem as propriedades comutativa e associativa;
é sempre verdade que z1 + z2 = z2 + z1  e (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3).
_Para a multiplicação de números complexos também valem as propriedades comutativa e associativa, z1.z2 = z2.z1 e (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3), sempre, e vale a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição:

                                    z1.(z2+z3) = z1.z2+z1.z3

sempre, isto é, para quaisquer números complexos z1,z2 e z3.

A História dos Numeros Complexos

Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x² – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.